基本概念 介绍 学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数 这里，我对卡特兰数做一点自己的理解 卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律

对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量

为了区分组合数，这里用fn 表示卡特兰数的第n 项 从零开始，卡特兰数的前几项为1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…

定义 递归定义

fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1f0 ，其中n≥2

递推关系

fn=4n−2n+1fn−1

通项公式

fn=1n+1Cn2n

经化简后可得

fn=Cn2n−Cn−12n

只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列

回到顶部 实际问题 先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数 去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是

例题1 在一个w×h 的网格上，你最开始在(0,0) 上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(n,n),0≤n 有多少种不同的合法路径。

合法路径个数为Cn2n−Cn−12n

直接求不好，考虑求有多少种不合法路径 路径总数为在2n 次移动中选n 次向上移动，即Cn2n

画一下图，我们把y=x+1 这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径 先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为(a,a+1)

如图

p1.png

我们把(a,a+1) 之后的路径全部按照y=x+1 这条线对称过去 这样，最后的终点就会变成(n−1,n+1)

p2.png

由于所有的不合法路径一定会与y=x+1 有这么一个交点 我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到(n−1,n+1) 的路径 且所有到(n−1,n+1) 的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可） 所以不合法路径总数是Cn−12n

那么合法的路径总数为Cn2n−Cn−12n

这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决 即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径 如网格计数

方法 先将方法写在前面吧 相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧 和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的

01序列 你现在有n 个0 和n 个1 ，问有多少个长度为2n 的序列，使得序列的任意一个前缀中1 的个数都大于等于0 的个数 例如n=2 时 有1100,1010 两种合法序列 而1001,0101,0110,0011 都是不合法的序列

合法的序列个数为Cn2n−Cn−12n

我们把出现一个1 看做向右走一格，出现一个0 看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题1 一模一样了

拓展 如果是n 个1,m 个0 呢？ 不过是最后的终点变为了(n,m) 罢了 如果是1 的个数不能够比m 少k 呢 我们只需将y=x+1 这条线上下移动即可

括号匹配 你有n 个左括号，n 个右括号，问有多少个长度为2n 的括号序列使得所有的括号都是合法的

合法的序列个数为Cn2n−Cn−12n

要使所有的括号合法，实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量 将左括号看做1 ，右括号看做0 ，这题又和上面那题一模一样了

进出栈问题 有一个栈，我们有2n 次操作，n 次进栈，n 次出栈，问有多少中合法的进出栈序列

合法的序列个数为Cn2n−Cn−12n

要使序列合法，在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数…

后面就不用我说了吧，和上面的问题又是一模一样的了

312排列 一个长度为n 的排列a ，只要满足i<j<k 且aj<ak<ai 就称这个排列为312 排列 求n 的全排列中不是312 排列的排列个数

答案也是卡特兰数

我们考虑312 排列有什么样的特征 如果考虑一个排列能否被1,2,3,…,n−1,n 排列用进栈出栈来表示 那么312 排列就是所有不能被表示出来的排列 那么这个问题就被转化成进出栈问题了

不相交弦问题 在一个圆周上分布着 2n 个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的2n 条弦彼此不相交的配对方案数 当n=4 时，一种合法的配对方案为如图

p3.png

合法的序列个数为Cn2n−Cn−12n

这个问题没有上面的问题那么显然，我们规定一个点为初始点，然后规定一个方向为正方向 如规定最上面那个点为初始点，逆时针方向为正方向 然后我们把一个匹配第一次遇到的点（称为起点）旁边写一个左括号( ，一个匹配第二次遇到的点（称为终点）旁边写一个右括号)

如图

p4.png

看出来吗，在规定了这样的一个顺序后，在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数 于是这又是一个卡特兰数列了

二叉树的构成问题 有n 个点，问用这n 个点最终能构成多少二叉树

答案仍然是卡特兰数列

这个问题不是用上面的方法，是用递归定义的卡特兰数

一个二叉树分为根节点，左子树，右子树 其中左子树和右子树也是二叉树，左右子树节点个数加起来等于n−1

设i 个点能构成fi 个二叉树 我们枚举左子树有几个点可得 fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1∗f0

这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的

凸多边形的三角划分 一个凸的n 边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案

答案还是卡特兰数列

我们在凸多边形中随便挑两个顶点连一条边，这个凸多边形就会被分成两个小凸多边形，由于每条直线不能相交，接下来我们就只要求这两个小凸多边形的划分方案然后乘起来即可

和二叉树的构成问题一样，我们枚举大凸多边形被分成的两个小凸多边形的大小即可

阶梯的矩形划分 一个阶梯可以被若干个矩形拼出来 图示是两种划分方式

p5.png p6.png

像下图是不合法的划分方式 p7.png

问，一个n 阶矩形有多少种矩形划分

答案仍然是卡特兰数列

我们考虑阶梯的每个角

如图 p8.png

每个角一定是属于不同的矩形的，我们考虑和左下角属于一个矩形的是哪个角 这个矩形将这个梯形又分成两个小梯形，如图

p9.png

于是我们又可以写出递推式了 和卡特兰数列的递归式是一样的

卡特兰数就讲这么多吧

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