排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算从一组元素中选取特定数量元素的不同方式。它们的核心区别在于 是否考虑顺序。

1. 排列（Permutation）

排列考虑元素的顺序，即相同的元素但不同的顺序被视为不同的排列。

公式：

• 无重复排列：从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的有序排列数：

  $$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$$

  其中 $n!$（n的阶乘）表示 $n \times (n-1) \times \cdots \times 1$。

• 全排列：当 $k = n$ 时，所有 $n$ 个元素的排列数为：

  $$P(n, n) = n!$$

• 重复排列：如果元素可重复选取，排列数为：

  $$n^k$$

例子：

从 3 个元素 $\{A, B, C\}$ 中选 2 个的排列为 $AB, BA, AC, CA, BC, CB$，共 $P(3, 2) = 6$ 种。

2. 组合（Combination）

组合不考虑顺序，即相同的元素无论顺序如何都视为同一种组合。

公式：

• 从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的组合数（记作 $C(n, k)$ 或 $\binom{n}{k}$）：$$C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$这里除以 $k!$ 是为了消除顺序的影响。

例子：

从 3 个元素 $\{A, B, C\}$ 中选 2 个的组合为 $AB, AC, BC$，共 $C(3, 2) = 3$ 种。

关键区别：

• 排列：选且排序（顺序重要）。
• 组合：仅选择（顺序无关）。

记忆技巧：

• 排列公式 $P(n, k)$ 直接计算阶乘比值。
• 组合公式 $C(n, k)$ 在排列基础上除以 $k!$。