背景：

小L同学（就是我）在自以为有点弄懂DP时去做【提高】最长上升子序列LIS（2），结果。。。

Time Exceeded！！！

#include <iostream>
using namespace std;
int n, a[1000005], dp[1000005], ans;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		dp[i] = 1;
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j < i; j++)
		{
			if (a[i] > a[j])
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)ans = max(ans, dp[i]);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

不是，这都超时那什么不超时啊

还是要感谢DeepSeek。。。

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贪心+二分查找与动态规划（DP）的联系

贪心+二分查找和动态规划都是解决 最长上升子序列（LIS） 问题的有效方法，但它们的核心思想和优化方式不同。以下是它们的联系与区别：

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1. 动态规划（DP）解法

基本思想：

• 定义状态：dp[i] 表示以 a[i] 结尾的最长上升子序列的长度。
• 状态转移：
  • 对于每个 i，遍历所有 j < i，如果 a[j] < a[i]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
• 初始化：dp[i] = 1（每个元素本身就是一个长度为1的子序列）。
• 结果：max(dp[1..n])。

时间复杂度：

• O(n²)（对于每个 i，需要遍历所有 j < i）。

缺点：

• 当 n 很大（如 n = 1e5）时，O(n²) 的复杂度会超时。

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2. 贪心+二分查找解法

基本思想：

• 维护一个数组 d：
  • d[len] 表示长度为 len 的上升子序列的最小末尾元素。
  • 目标是让 d 数组中的值尽可能小，以便后续元素更容易扩展。
• 更新规则：
  1. 如果 a[i] > d[len]，直接扩展：d[++len] = a[i]。
  2. 否则，用 a[i] 替换 d 数组中第一个 ≥ a[i] 的元素（通过二分查找找到位置）。
     • 这样可以保证 d 数组仍然有序，且后续元素更容易扩展。

时间复杂度：

• O(nlogn)：
  • 遍历数组：O(n)。
  • 每次二分查找：O(logn)。

优点：

• 高效处理大规模数据（n ≤ 1e6 也能轻松通过）。

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3. 贪心+二分查找与DP的联系

（1）贪心+二分是对DP的优化

• DP 解法中，dp[i] 依赖于所有 dp[j] (j < i)，导致 O(n²) 的时间复杂度。
• 贪心+二分通过维护 d 数组，避免了重复计算：
  • d 数组的本质是对 DP 状态的压缩，只保留关键信息（每个长度的最小末尾元素）。
  • 通过二分查找，快速定位 a[i] 应该插入的位置，从而减少不必要的比较。

（2）d 数组与 dp 数组的关系

• d 数组的索引 len 对应 DP 中的子序列长度。
• d[len] 是 DP 中所有长度为 len 的子序列中的最小末尾元素。

（3）为什么贪心+二分是正确的？

• 关键点：用较小的数替换 d 数组中的数，不会影响最终的最大长度，但能让后续的数更容易接上。
  • 例如，如果当前 d = [1, 3, 5]，新数是 4：
    • 直接替换 5 为 4，得到 d = [1, 3, 4]。
    • 这样如果后面出现 4.5，就可以接上，而原来的 5 无法接 4.5。

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4. 对比总结

方法	时间复杂度	空间复杂度	核心思想
动态规划（DP）	O(n²)	O(n)	计算以每个元素结尾的 LIS 长度，依赖之前所有状态。
贪心+二分查找	O(nlogn)		维护 d 数组，用二分查找快速更新，避免重复计算。

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5. 代码实现对比

（1）动态规划（O(n²)）

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i] = 1;
    for (int j = 1; j < i; j++) {
        if (a[j] < a[i]) {
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}
ans = *max_element(dp + 1, dp + n + 1);

（2）贪心+二分（O(nlogn)）

int len = 0;
d[0] = -INF; // 初始化为极小值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (a[i] > d[len]) {
        d[++len] = a[i];
    } else {
        int pos = lower_bound(d + 1, d + len + 1, a[i]) - d;
        d[pos] = a[i];
    }
}
ans = len;

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6. 如何选择方法？

• 如果 n ≤ 1e4，可以用 DP（代码简单，容易理解）。
• 如果 n ≥ 1e5，必须用贪心+二分（否则会超时）。

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7. 为什么贪心+二分更高效？

• DP 的瓶颈在于内层循环（遍历所有 j < i），而贪心+二分通过维护 d 数组和二分查找，将内层循环的 O(n) 优化为 O(logn)。
• 本质上是用空间（d 数组）换时间（避免重复计算）。

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总结

贪心+二分查找是对动态规划的优化，通过维护一个有序的 d 数组和二分查找，将时间复杂度从 O(n²) 降为 O(nlogn)。两者解决的问题相同，但贪心+二分更适合大规模数据。