背景

这是一道比赛的题目。标题纯属虚构，仅供参考。其实我感觉做对了，只是没找到原题。而且题目也只是按照记忆。

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题目

题目描述

定义函数 $G(a,b)$ 表示拼接 $a$ 和 $b$ 。例如当 $a=202,b=5$ ， $G(a,b) = G(202, 5) = 2025$ 。输入 $n$ 和 $m$ ，求有多少对 $a(1≤a≤n)$ 和 $b(1≤b≤m)$ 能使 $(a+1)*(b+1)-1=G(a,b)$ 成立。

输入格式

输入共一行，两个数 $n$ 和 $m$ 。

输出格式

输出共一行，一个数表示有多少对 $a$ 和 $b$ 。

输入输出样例

输入 #1

1 12

输出 #1

1

输入 #2

56 1000

输出 #2

168

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据：

• $1≤n,m≤2×10^9$ 。

题解

这一看就知道不是模拟（$1≤n,m≤2×10^9$）。但是先用模拟做，如果有什么发现呢？

直接循环 $a$ 和 $b$ 就好了。代码：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

int G(int a, int b)
{
	string s1 = to_string(a), s2 = to_string(b);
	string s3 = s1 + s2;
	return stoll(s3);
}

signed main()
{
	int n, m, ans = 0;
	cin >> n >> m;
	for (int a = 1; a <= n; a++)
	{
		for (int b = 1; b <= m; b++)
		{
			if ((a + 1) * (b + 1) - 1 == G(a, b))ans++;
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

直接看答案不能发现什么规律。只知道 $168$ 是 $56$ 的 $3$ 倍。把 $a$ 和 $b$ 输出看看。对于样例二，输出：

1 9
1 99
1 999
2 9
2 99
2 999
3 9
3 99
3 999
...
53 9
53 99
53 999
54 9
54 99
54 999
55 9
55 99
55 999
56 9
56 99
56 999

可以发现，循环的 $a$ 是一直成立的，只需要找到有多少个 $b$ 是成立的就好了。观察输出的 $b$ ，发现只有 $9$ 、 $99$ 和 $999$ 。如果继续往下，就会有 $9999$ 、 $99999$ 等。因此，我设计了这样一个函数：

int f(int x)
{
	if (x < 9)return 0;
	if (x < 99)return 1;
	if (x < 999)return 2;
	if (x < 9999)return 3;
	if (x < 99999)return 4;
	if (x < 999999)return 5;
	if (x < 9999999)return 6;
	if (x < 99999999)return 7;
	if (x < 999999999)return 8;
	if (x < 9999999999)return 9;
}

这就能找出有多少个 $b$ 是成立的。答案就是： $n × f(m)$ 。最后的代码：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

int f(int x)
{
	if (x < 9)return 0;
	if (x < 99)return 1;
	if (x < 999)return 2;
	if (x < 9999)return 3;
	if (x < 99999)return 4;
	if (x < 999999)return 5;
	if (x < 9999999)return 6;
	if (x < 99999999)return 7;
	if (x < 999999999)return 8;
	if (x < 9999999999)return 9;
}

signed main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	cout << n * f(m);
	return 0;
}