前言

$$\texttt{14. 已知 }a^2-a-1=0,\texttt{则 }a^3-2a+2025=\texttt{}$$

————大某盟数学题目

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正解来源：DeePseek

$$a^2-a-1=0$$

即

$$a^2=a+1$$

对 $a^3$ 降次，得

$$a^3=a^2\cdot a$$

把 $a^2=a+1$ 代入，得

$$\begin{aligned} a^3&=(a+1)\cdot a \\ &=a^2+a \\ &=a+1+a \\ &=2a+1 \end{aligned}$$

把 $a^3=2a+1$ 代入 $a^3-2a+2025$ 得

$$\begin{aligned} &a^3-2a+2025 \\ &=2a+1-2a+2025 \\ &=1+2025 \\ &=2026 \end{aligned}$$

当然，这个答案是可以猜出来的。

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比正解还正的正解来源：My 草稿纸

已知 $a^2-a-1=0$，配（完全平）方得

$$a^2-2\times\dfrac{1}{2}\times a+(\dfrac{1}{2})^2-1-(\dfrac{1}{2})^2=0$$

化简得

$$a^2-a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{4}=0$$

移项、因式分解得

$$(a-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{4}$$

开根号

$$a-\dfrac{1}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}}$$

移项

$$a_1=\sqrt{\dfrac{5}{4}}+\dfrac{1}{2} \\ a_2=-\sqrt{\dfrac{5}{4}}+\dfrac{1}{2}$$

化简

$$a_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ a_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$

于是你就会看出这是黄金分割比。

然后把这两个值分别代入 $a^3-2a+2025$，都会得出 $2026$。

一元二次方程

知道这个歪解之后，打开九年级上册数学书第一页，你就会发现“配方法”。就是配完全平方，开根号后正负两种值，移项，就解决了。

$$\Huge\colorbox{ffff00}{\color{000000}\texttt{TO BE CONTINUE}}$$