CSP-J 排列组合专题

一、基础知识

1. 加法原理与乘法原理

加法原理：完成一件事有n类办法，第i类有mᵢ种方法，则总方法数为 m₁ + m₂ + ... + mₙ

乘法原理：完成一件事需要n个步骤，第i步有mᵢ种方法，则总方法数为 m₁ × m₂ × ... × mₙ

2. 排列

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

排列数公式：A(n,m) = n × (n-1) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!

全排列：A(n,n) = n!

3. 组合

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑顺序并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。

组合数公式：C(n,m) = A(n,m) / A(m,m) = n! / [m!(n-m)!]

重要性质：

• C(n,m) = C(n,n-m)
• C(n,0) = C(n,n) = 1
• C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)

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二、常见题型与解题方法

题型1：直接套用公式

例题1：从5名同学中选出3名参加数学竞赛，有多少种选法？

解：C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10种

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例题2：用0,1,2,3,4组成无重复数字的三位数，共有多少个？

解：

• 百位不能为0：4种选择
• 十位：剩余4个数字中选1个
• 个位：剩余3个数字中选1个
• 总数：4×4×3 = 48个

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题型2：捆绑法（相邻问题）

适用条件：某些元素必须排在一起

做法：将必须相邻的元素看作一个整体，先内部排列，再与其他元素排列。

例题3：3个男生和2个女生站成一排，女生必须相邻，有多少种排法？

解：

• 将2个女生捆绑看作一个整体：内部排列有 A(2,2) = 2种
• 整体与3个男生共4个元素排列：A(4,4) = 24种
• 总数：2×24 = 48种

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题型3：插空法（不相邻问题）

适用条件：某些元素不能排在一起

做法：先排其他元素，形成空位，再将不能相邻的元素插入空位。

例题4：3个男生和2个女生站成一排，女生不相邻，有多少种排法？

解：

• 先排3个男生：A(3,3) = 6种
• 形成4个空位（含两端）：_ M _ M _ M _
• 2个女生插入4个空位：A(4,2) = 12种
• 总数：6×12 = 72种

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题型4：定序问题

适用条件：某些元素的顺序固定

做法：先全排列，再除以定序元素的排列数。

例题5：将A,B,C,D,E排成一列，要求A在B前面，有多少种排法？

解：

• 5个元素全排列：A(5,5) = 120种
• A、B顺序固定，有2种顺序（AB或BA），只有1种符合
• 总数：120/2 = 60种

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题型5：分组分配问题

例题6：将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？

解：

• 先分组：C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) = 15×6×1 = 90种
• 3堆无序，除以A(3,3) = 6
• 总数：90/6 = 15种

变式：若分给甲、乙、丙三人，每人2本呢？

• 只需分组：90种（因为人不同，有顺序）

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题型6：隔板法（相同元素分配）

适用条件：将n个相同元素分成m组（每组至少1个）

公式：C(n-1, m-1)

例题7：将10个相同的苹果分给3个小朋友，每人至少1个，有多少种分法？

解：C(10-1, 3-1) = C(9,2) = 36种

变式：允许有人分到0个呢？

• 每人先借1个（或先各分1个再收回），转化为每人至少1个
• 等价于将13个苹果分给3人，每人至少1个
• C(12,2) = 66种

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三、排列组合综合应用

例题8：6个人站成一排，甲不站两端，乙不站中间，有多少种排法？

解（容斥原理）：

• 总数：A(6,6) = 720
• 甲站两端：A(2,1)×A(5,5) = 2×120 = 240
• 乙站中间：A(5,5) = 120
• 甲站两端且乙站中间：A(2,1)×A(4,4) = 2×24 = 48
• 符合条件：720 - 240 - 120 + 48 = 408种

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例题9：有4名男生和3名女生，从中选出3人组成代表队，要求至少1名女生，有多少种选法？

解（正面与反面）：

• 正面：1女2男 + 2女1男 + 3女
  • C(3,1)×C(4,2) + C(3,2)×C(4,1) + C(3,3) = 3×6 + 3×4 + 1 = 31种
• 反面：总数 - 全男生
  • C(7,3) - C(4,3) = 35 - 4 = 31种

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四、CSP-J常见易错点

误区	正确理解
排列和组合分不清	排列有顺序，组合无顺序
平均分组忘记除以组数阶乘	平均分组需要除以组数的阶乘
“至少”问题直接分类	用反面（总数-不符合）更简便
环形排列直接用全排列	n个不同元素环形排列：A(n-1,n-1)
捆绑法内部忘记排列	捆绑元素内部也需要排列

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五、练习题

基础题

1. 从8名同学中选3人参加比赛，有多少种选法？

2. 用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，共有多少个？

3. 4本不同的书分给3个人，每人至少1本，有多少种分法？

提高题

4. 5个男生和3个女生站成一排，女生必须相邻，有多少种排法？

5. 5个男生和3个女生站成一排，女生不相邻，有多少种排法？

6. 将8个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少1个，有多少种放法？

综合题

7. 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字且能被5整除的四位数，有多少个？

8. 6个人站成一圈，有多少种不同的站法？

9. 从5名男生和4名女生中选出4人，要求男生人数不少于女生人数，有多少种选法？

10. 把4本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人，甲至少得到1本，有多少种分法？

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六、练习题答案与解析

基础题

1. 从8名同学中选3人参加比赛，有多少种选法？

解：C(8,3) = 8!/(3!×5!) = 56种

2. 用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，共有多少个？

解：A(4,4) = 4! = 24个

3. 4本不同的书分给3个人，每人至少1本，有多少种分法？

解：

• 先分组（1,1,2）：C(4,2)×C(2,1)×C(1,1)/A(2,2) = 6×2×1/2 = 6种
• 再分配：6×A(3,3) = 6×6 = 36种

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提高题

4. 5个男生和3个女生站成一排，女生必须相邻，有多少种排法？

解：

• 捆绑女生：A(3,3) = 6种
• 整体排列：6个元素（5男+1女整体）A(6,6)=720种
• 总数：6×720 = 4320种

5. 5个男生和3个女生站成一排，女生不相邻，有多少种排法？

解：

• 先排5个男生：A(5,5)=120种
• 形成6个空位，3个女生插入：A(6,3)=120种
• 总数：120×120 = 14400种

6. 将8个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少1个，有多少种放法？

解：隔板法，C(8-1,4-1) = C(7,3) = 35种

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综合题

7. 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字且能被5整除的四位数，有多少个？

解：能被5整除，个位为0或5

情况1：个位为0

• 千位：从1-5中选1个：5种
• 百位：剩余4个数字中选1个：4种
• 十位：剩余3个数字中选1个：3种
• 小计：5×4×3 = 60个

情况2：个位为5

• 千位：从1,2,3,4中选1个（不能为0）：4种
• 百位：剩余4个数字中选1个：4种
• 十位：剩余3个数字中选1个：3种
• 小计：4×4×3 = 48个

总数：60+48 = 108个

8. 6个人站成一圈，有多少种不同的站法？

解：环形排列，A(5,5) = 5! = 120种

9. 从5名男生和4名女生中选出4人，要求男生人数不少于女生人数，有多少种选法？

解：男生人数不少于女生，则男生人数为2、3、4

• 2男2女：C(5,2)×C(4,2) = 10×6 = 60
• 3男1女：C(5,3)×C(4,1) = 10×4 = 40
• 4男0女：C(5,4) = 5

总数：60+40+5 = 105种

10. 把4本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人，甲至少得到1本，有多少种分法？

解：

• 每人至少一本：A(4,4)=24种
• 本题“甲至少1本”用反面法：
  • 总数（每本书有4种选择）：4⁴ = 256种
  • 甲一本都没有：每本书有3种选择：3⁴ = 81种
  • 符合条件：256 - 81 = 175种

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七、竞赛技巧总结

1. 审清题意：判断有无顺序、元素是否相同
2. 选择方法：
   • 相邻 → 捆绑法
   • 不相邻 → 插空法
   • 顺序固定 → 除以排列数
   • 至少/至多 → 反面法
   • 相同元素分配 → 隔板法
   • 平均分组 → 除以组数阶乘
3. 多法并用：复杂题往往是多种方法的组合
4. 验证答案：用不同方法验证，或用小数据验证公式是否正确