基本模型（1）——正三角形内含半角

如图，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，DB = DC，且∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，DE、DF分别交AB、AC于E、F两点，连接EF。探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明

数量关系： EF = BE + CF

证明：

1. 求角度：

   因为 $\triangle ABC$ 是等边三角形

   所以 $\angle ABC = 60^\circ，\angle ACB = 60^\circ$

   因为 $DB = DC，且 \angle BDC = 120^\circ$，

   所以 $\angle DBC = \angle DCB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$。

   因此，$\angle ABD = \angle ABC + \angle DBC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$。

   同理可得，$\angle ACD = \angle ACB + \angle DCB = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

   即 $DB \perp AB，DC \perp AC$。

2. 作辅助线（旋转法）：

   将 $\triangle DBE$ 绕点 D 旋转，使得 DB 与 DC 重合（逆时针旋转 $120^\circ$），点 E 落在 AC 延长线上的点 G 处。

   因为 $\angle DCG = \angle DBE = 90^\circ，且 \angle DCA = 90^\circ$，所以点 G 确实落在 AC 的延长线上。

3. 证明全等：

   由旋转可知，$\triangle DBE \cong \triangle DCG$。

   所以 $BE = CG，DE = DG，且 \angle BDE = \angle CDG$。

   因为 $\angle BDC = 120^\circ，且 \angle EDF = 60^\circ$，

   所以 $\angle BDE + \angle CDF = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。 因为 $\angle BDE = \angle CDG$， 所以 $\angle GDF = \angle CDG + \angle CDF = \angle BDE + \angle CDF = 60^\circ$。

   即 $\angle GDF = \angle EDF$。

   在 $\triangle DEF 和 \triangle DGF$ 中： $\begin{cases} DE = DG \ \angle EDF = \angle GDF \ DF = DF \text{（公共边）} \end{cases} ]$

   所以 $\triangle DEF \cong \triangle DGF (SAS)$。

4. 得出结论： 由全等可得 EF = GF。 因为点 G 在 AC 的延长线上（在点 C 的外侧）， 所以 $GF = GC + CF$。 将 $GC = BE$ 代入，得： $GF = BE + CF$。 所以 $EF = BE + CF$。