排列组合

两个基本原理

加法原理

做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，...，在第n类办法中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有n=m1+m2+m3+...+mn中不同的方法 加法原理分类计数法的要求：每一类中的每一种方法都可以独立的完成此任务；两类不同的办法中的具体方法，互相不同；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类。

乘法原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种，第n步有mn种，那么完成这件事共有n=n1m2m3*...*mn种不同的方法。 惩罚原理分步计数法的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成n步才能完成此任务；个步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

排列的定义

从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法

排列公式

从n个不同元素中取出m个元素的所有排列，可以用记号和公式表示为： $P_n^m=A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$ 当m=n是，成为全排列，此时表示为 $A_n^n=P^n_n=n!=n*(n-1)*...*2*1$

组合的定义

从n个不同的元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。 从组合的定义而知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有档两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合。

组合公式

组合的记号和公式可以表示为：

有此可知： $A_n^m=C_n^m.A_m^m=C^{n-m}_{n}.A_m^m$

$C_n^m=C^m_{n-1}+C^{m-1}_{n-1}$

$C^0_n=C_n^n=1$

$0!=1$