CSP 2021 提高级第一轮

（满分：100 分 考试时间：120 分钟）

一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1.在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（ ）。

{{ select(1) }}

• ls -cd
• cp
• all

2. 二进制数 001010102和 000101102 的和为（）。

{{ select(2) }}

• ${ 00111100}_2$
• ${ 01000000}_2$
• ${ 00111100}_2$
• ${ 01000010}_2$

3. 在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（ ）引发错误。

{{ select(3) }}

• 系统分配的栈空间溢出
• 系统分配的队列空间溢出
• 系统分配的链表空间溢出
• 系统分配的堆空间溢出

4. 以下排序方法中，（ ）是不稳定的。

{{ select(4) }}

• 插入排序
• 冒泡排序
• 堆排序
• 归并排序

5. 以比较为基本运算，对于 2𝑛 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比 较次数为（ ）。

{{ select(5) }}

• 4n-2
• 3n+1
• 3n-2
• 2n+1

6. 现有一个地址区间为 0∼10的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储 （到 10冲突了就从 0开始往后），现在要依次存储 (0,1,2，3,4,5,6,7)，哈希函数为 ℎ(𝑥)=$𝑥^2$mod11。请问 7存储在哈希表哪个地址中（ ）。

{{ select(6) }}

• 5
• 6
• 7
• 8

7. G 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 36条边，则该图至少有（ ）个点。

{{ select(7) }}

• 8
• 9
• 10
• 11

8. 令根结点的高度为 1，则一棵含有 2021 个结点的二叉树的高度至少为（ ）。

{{ select(8) }}

• 10
• 11
• 12
• 2021

9. 前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（ ）。

{{ select(9) }}

• 只有 1 个点的二叉树
• 根结点没有左子树的二叉树
• 非叶子结点只有左子树的二叉树
• 非叶子结点只有右子树的二叉树

10. 定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 DACFEB 变为 ABCDEF最少需要 ( ) 次上述操作。

{{ select(10) }}

• 7
• 8
• 9
• 6

11. 有如下递归代码

solve(t, n):
  if t=1 return 1
  else return 5*solve(t-1,n) mod n

则 solve(23,23) 的结果为（ ）。

{{ select(11) }}

• 1
• 7
• 12
• 22

12. 斐波那契数列的定义为： $𝐹_1$=1，$𝐹_2$=1，$𝐹_n$=$𝐹_{n-1}$+$𝐹_{n-2}$(𝑛≥3)。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 𝑛 项，其时间复杂度为（ ）。

F(n):
  if n<=2 return 1
  else return F(n-1) + F(n-2)

{{ select(12) }}

• O(n)
• O($n^2$)
• O($2^n$)
• O(n log n)

13. 有 8个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（ ）种方案。

{{ select(13) }}

• 36
• 48
• 54
• 64

14. 设一个三位数 $𝑛=\overline{𝑎𝑏𝑐}$， 𝑎,𝑏,𝑐 均为 1∼9 之间的整数，若以 𝑎、 𝑏、 𝑐 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 𝑛有（ ）个。

{{ select(14) }}

• 81
• 120
• 165
• 216

15. 有如下的有向图，节点为 𝐴,𝐵,⋯,𝐽, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 𝐴到节点 𝐽的最短路径长度为（ ）。

{{ select(15) }}

• 16 ​
• 19
• 20
• 22​

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ⨉ ；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

1.程序一

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000，完成下面的判断题和单选题：

•判断题

16. 将第 21 行中 t 的类型声明从 int 改为 double， 不会 影响程序运行的结果。（）

{{ select(16) }}

• 对
• 错

17. 将第 26、27 行中的 / sqrt(t) / 2替换为/ 2 / sqrt(t)，不会影响程序运行的结果。（ ）

{{ select(17) }}

• 对
• 错

18. 将第 28 行中的 x * x 改成 sq(x)、y * y 改成 sq(y)，不会影响程序运行的结果。（ ）

{{ select(18) }}

• 对
• 错

19. （2 分） 当输入为 0 0 0 1 1 0 0 1 时，输出为 1.3090 ( )

{{ select(19) }}

• 对
• 错

20. 当输入为 1 1 1 1 1 1 1 2 时，输出为（ ）。

{{ select(20) }}

• 3.1416
• 6.2832
• 4.7124
• 4.1888

21. （2.5 分）这段代码的含义为（ ）。

{{ select(21) }}

• 求圆的面积并
• 求球的体积并
• 求球的体积交
• 求椭球的体积并

2.程序二

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000 ，完成下面的判断题和单选题：

22. 程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（ ）

{{ select(22) }}

• 对
• 错

23. 第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。（ ）

{{ select(23) }}

• 对
• 错

24. 当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。( )

{{ select(24) }}

• 对
• 错

25. solve1(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

{{ select(25) }}

• O(log n)
• O(n)
• O(n log n)
• O$(n^2)$

26. solve2(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

{{ select(26) }}

• O(log n)
• O(n)
• O(n log n)
• O$(n^2)$

27. 当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（ ）。

{{ select(27) }}

• 13
• 17
• 24
• 12

3.程序三：

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

28. 程序总是先输出 一行 一个整数，再输出 一行 一个字符串。（ ）

{{ select(28) }}

• 对
• 错

29. 对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入0 str1，得到输出的第二行记为 str2 再执行程序输入1 str2，输出的第二行必为 str1。（ ）

{{ select(29) }}

• 对
• 错

30. 当输入为1 SGVsbG93b3JsZA==时，输出的第二行为HelloWorld。( )

{{ select(30) }}

• 对
• 错

31. 设输入字符串长度为 𝑛，encode 函数的时间复杂度为（ ）。

{{ select(31) }}

• 𝑂($\sqrt{𝑛}$)
• 𝑂(𝑛)
• 𝑂(𝑛 log n)
• 𝑂($𝑛^2$)

32. 输出的第一行为（ ）。

{{ select(32) }}

• 0xff
• 255
• 0xFF
• -1

33. （4 分） 当输入为 0 CSP2021csp 时，输出的第二行为（ ）。

{{ select(33) }}

• Q1NQMjAyMWNzcAv=
• Q1NQMjAyMGNzcA==
• Q1NQMjAyMGNzcAv=
• Q1NQMjAyMWNzcA==

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

1.程序一

(魔法数字） 小 H 的魔法数字是 4。给定 𝑛， 他希望用若干个 4进行若干次加法、减法和整除运算得到 𝑛。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 𝑀=10000 的正整数。求至少可能用到多少个 4。

例如，当 𝑛=2 时，有 2=$\frac{4+4}{4}$，用到了 3个 4，是最优方案。

试补全程序。

34. ①处应填（ ）

{{ select(34) }}

• F[4] = 0
• F[1] = 4
• F[1] = 2
• F[4] = 1

35. ②处应填（ ）

{{ select(35) }}

• !Vis[n]
• r < n
• F[M] == INT_MAX
• F[n] == INT_MAX

36. ③处应填（ ）

{{ select(36) }}

• F[i] == r
• !Vis[i] && F[i] == r
• F[i] < F[x]
• !Vis[i] && F[i] < F[x]

37. ④处应填（ ）

{{ select(37) }}

• F[i] < F[x]
• F[i]<=r
• Vis[i]
• i <= x

2、程序二

（ RMQ 区间最值问题） 给定序列 $𝑎_0,⋯,𝑎_{𝑛−1}, 𝑚$ 次询问，每次询问给定 𝑙,𝑟，求max{$⁡𝑎_𝑙,...,𝑎_𝑟$}。

为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians ，其时间复杂度为 𝑂(𝑛+𝑚)，步骤如下：

• 建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。
• 对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。
• 注意新的问题为 ±1RMQ，即相邻两点的深度差一定为 1。

下面解决这个 ±1 RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：

• 设 𝑡 为 Euler 序列长度。取 𝑏=$⌈\frac{log⁡_2𝑡}{2}⌉$ 将序列每 𝑏 个分为一大块， 使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 $𝑂(\frac{𝑡}{𝑏}log⁡𝑡)$=𝑂(𝑛)。
• （重点） 对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 𝑂(1)的算法。由于差分数组${ 2^{𝑏−1}}$ 种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 𝑂(${𝑏2^𝑏}$)，不超过 𝑂(𝑛)。
• 最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。

试补全程序。

38. ⑤处应填（ ）

{{ select(38) }}

• p->son[0] = S[top--]
• p->son[1] = S[top--]
• S[top--]->son[0] = p
• S[top--]->son[1] = p

39. ①处应填（ ）

{{ select(39) }}

• p->son[0] = S[top]
• p->son[1] = S[top]
• S[top]->son[0] = p
• S[top]->son[1] = p

40. ②处应填（ ）

{{ select(40) }}

• x->dep < y->dep
• x < y
• x->dep > y->dep
• x->val < y->val

41. ③处应填（ ）

{{ select(41) }}

• A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0]
• A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val
• A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1]
• A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

42. ④处应填（ ）

{{ select(42) }}

• v += (S >> i & 1) ? -1 : 1
• v += (S >> i & 1) ? 1 : -1
• v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1
• v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

43. ⑤处应填（ ）

{{ select(43) }}

• (Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
• Dif[p]
• (Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)
• (Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)