NOIP2013年提高组初赛真题

一、单项选择题（共 20 题，每题 1.5 分，共计 30 分；1-15每题有且仅有一个正确选项，16-20为多选题）

1. 一个 32 位整型变量占用（ ）个字节。

{{ select(1) }}

• 4
• 8
• 32
• 128

2. 二进制数 11.01 在十进制下是（ ）。

{{ select(2) }}

• 3.25
• 4.125
• 6.25
• 11.125

3. 下面的故事与（ ）算法有着异曲同工之妙。

从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事：‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事……’”

{{ select(3) }}

• 枚举
• 递归
• 贪心
• 分治

4. 1948 年，（ ）将热力学中的熵引入信息通信领域，标志着信息论研究的开端。

{{ select(4) }}

• 冯·诺伊曼（John von Neumann）
• 图灵（Alan Turing）
• 欧拉（Leonhard Euler）
• 克劳德·香农（Claude Shannon）

5. 已知一棵二叉树有 2013 个节点，则其中至多有（ ）个节点有 2 个子节点。

{{ select(5) }}

• 1006
• 1007
• 1023
• 1024

6. 在一个无向图中，如果任意两点之间都存在路径相连，则称其为连通图。右图是一个有 5 个顶点、8 条边的连通图。若要使它不再是连通图，至少要删去其中的（ ）条边。

{{ select(6) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

7. 斐波那契数列的定义如下：$F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3)$。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第 n 项，则其时间复杂度为（ ）。

int F(int n) 

{ 

 if (n <= 2) 

  return 1; 

 else 

  return F(n - 1) + F(n - 2); 

}

{{ select(7) }}

• $O(1)$
• $O(n)$
• $O(n^2)$
• $O(F_n)$

8. 二叉查找树具有如下性质：每个节点的值都大于其左子树上所有节点的值、小于其右子 树上所有节点的值。那么，二叉查找树的（ ）是一个有序序列。

{{ select(8) }}

• 先序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历
• 宽度优先遍历

9. 将 $(2, 6, 10, 17)$ 分别存储到某个地址区间为 $0\sim 10$ 的哈希表中，如果哈希函数 h(x) = （ ），将不会产生冲突，其中 $a \bmod b$ 表示 a 除以 b 的余数。

{{ select(9) }}

• $x \bmod 11$
• $x^2 \bmod 11$
• $(2x) \bmod 11$
• $\lfloor \sqrt{x} \rfloor \bmod 11$，其中 $\lfloor \sqrt{x} \rfloor$ 表示 $\sqrt{x}$ 下取整

10. IPv4 协议使用 32 位地址，随着其不断被分配，地址资源日趋枯竭。因此，它正逐渐被 使用（ ）位地址的 IPv6 协议所取代。

{{ select(10) }}

• 40
• 48
• 64
• 128

11. 二分图是指能将顶点划分成两个部分，每一部分内的顶点间没有边相连的简单无向图。 那么，12 个顶点的二分图至多有（ ）条边。

{{ select(11) }}

• 18
• 24
• 36
• 66

12. （ ）是一种通用的字符编码，它为世界上绝大部分语言设定了统一并且唯一的二进制编码，以满足跨语言、跨平台的文本交换。目前它已经收录了超过十万个不同字符。

{{ select(12) }}

• ASCII
• Unicode
• GBK 2312
• BIG5

13. 把 64 位非零浮点数强制转换成 32 位浮点数后，不可能（ ）。

{{ select(13) }}

• 大于原数
• 小于原数
• 等于原数
• 与原数符号相反

14. 对一个 n 个顶点、m 条边的带权有向简单图用 Dijkstra 算法计算单源最短路时，如果不使用堆或其它优先队列进行优化，则其时间复杂度为（ ）。

{{ select(14) }}

• $O(mn + n^3)$
• $O(n^2)$
• $O((m + n) \log n)$
• $O((m + n^2) \log n)$

15. T(n) 表示某个算法输入规模为 n 时的运算次数。如果 T(1) 为常数，且有递归式 $T(n) = 2\times T(\dfrac{n}{2}) + 2n$，那么 T(n) = （ ）。

{{ select(15) }}

• $\Theta(n)$
• $\Theta (n \log n)$
• $\Theta(n^2)$
• $\Theta(n^2 \log n)$

16. 下列程序中，正确计算$1, 2,\dots, 100$ 这 100 个自然数之和 sum（初始值为 0）的是（ ）。

{{ multiselect(16) }}

• for (i = 1; i <= 100; i++) sum += i;
• i = 1; while (i > 100) { sum += i; i++;}
• i = 1; do { sum += i; i++; } while (i <= 100);
• i = 1; do { sum += i; i++; } while (i > 100);

17. （ ）的平均时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 n 是待排序的元素个数。

{{ multiselect(17) }}

• 快速排序
• 插入排序
• 冒泡排序
• 归并排序

18. 以 $A_0$ 作为起点，对下面的无向图进行深度优先遍历时（遍历的顺序与顶点字母的下标无关），最后一个遍历到的顶点可能是（ ）。

{{ multiselect(18) }}

• $A_1$
• $A_2$
• $A_3$
• $A_4$

19. （ ）属于 NP 类问题。

{{ multiselect(19) }}

• 存在一个 P 类问题
• 任何一个 P 类问题
• 任何一个不属于 P 类的问题
• 任何一个在（输入规模的）指数时间内能够解决的问题

20. CCF NOIP 复赛考试结束后，因（ ）提出的申诉将不会被受理。

{{ multiselect(20) }}

• 源程序文件名大小写错误
• 源程序保存在指定文件夹以外的位置
• 输出文件的文件名错误
• 只提交了可执行文件，未提交源程序

21. 某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是 n 个数 $s_1, s_2,\dots , s_n$ ，均为 0 或 1。该系统每次随机生成 n 个数$a_1, a_2, \dots , a_n$ ，均为 0 或 1，请用户回答 $(s_1a_1 + s_2a_2 + \dots + s_na_n)$ 除以 2 的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。

然而，事与愿违。例如，当 n = 4 时，有人窃听了以下 5 次问答：

就破解出了密码s1 =___ ，s2 = ___，s3 =___ ，s4 =___。

答案格式为：纯数字用,连接

{{ input(21) }}

22. 现有一只青蛙，初始时在 n 号荷叶上。当它某一时刻在 k 号荷叶上时，下一时刻将等概 率地随机跳到 $1, 2, \dots, k$号荷叶之一上，直至跳到 1 号荷叶为止。当 n = 2 时，平均一共跳 2 次；当 n = 3 时，平均一共跳 2.5 次。则当 n = 5 时，平均一共跳_________次。

注意：如果你的答案要求输出分数，请输出 a/b 的形式，且保证为最简分数。

{{ input(22) }}

23. 阅读程序写结果：

#include <stdio.h> 

#include <string.h> 

const int SIZE = 100; 

int main() { 

 int n, i, isPlalindrome; 

 char str[SIZE]; 

 scanf("%s", str); 

 n = strlen(str); 

 isPlalindrome = 1; 

 for (i = 0; i < n/2; i++) { 

  if (str[i] != str[n-i-1]) isPlalindrome = 0; 

 } 

 if (isPlalindrome) 

  printf("Yes\n"); 

 else 

  printf("No\n"); 

 return 0; 

} 

输入：abceecba

输出：________

{{ input(23) }}

24. 阅读程序写结果：

#include <stdio.h> 

int main() 

{ 

 int a, b, u, v, i, num;  

 scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &u, &v); 

 num = 0; 

 for (i = a; i <= b; i++) 

if (((i % u) == 0) || ((i % v) == 0)) 

   num++; 

 printf("%d\n", num); 

 return 0; 

} 

输入：1 1000 10 15

输出：_________

{{ input(24) }}

25. 阅读程序写结果：

#include <stdio.h> 

const int SIZE = 100; 

int main()  

{ 

 int height[SIZE], num[SIZE], n, ans; 

 int i, j; 

 scanf("%d", &n); 

 for (i = 0; i < n; i++) { 

  scanf("%d", &height[i]); 

  num[i] = 1; 

  for (j = 0; j < i; j++) { 

   if ((height[j] < height[i]) && (num[j] >= num[i]))  

    num[i] = num[j]+1; 

  } 

 } 

 ans = 0; 

 for (i = 0; i < n; i++) { 

  if (num[i] > ans) ans = num[i]; 

 } 

 printf("%d\n", ans); 

 return 0; 

} 

输入：

8

3 2 5 11 12 7 4 10

输出：_________

{{ input(25) }}

26. 阅读程序写结果：

#include <stdio.h> 

#include <string.h> 

#define SIZE 100 

int n, m, p, count; 

int a[SIZE][SIZE]; 

void colour(int x, int y) 

{ 

 count++; 

 a[x][y] = 1; 

 if ((x > 1) && (a[x - 1][y] == 0)) 

  colour(x - 1, y); 

 if ((y > 1) && (a[x][y - 1] == 0)) 

  colour(x, y - 1); 

 if ((x < n) && (a[x + 1][y] == 0)) 

  colour(x + 1, y); 

 if ((y < m) && (a[x][y + 1] == 0)) 

  colour(x, y + 1);  

} 

int main() 

{ 

 int i, j, x, y, ans; 

 memset(a, 0, sizeof(a)); 

 scanf("%d%d%d", &n, &m, &p); 

 for (i = 1; i <= p; i++) { 

  scanf("%d%d", &x, &y); 

  a[x][y] = 1; 

 } 

 ans = 0;

for (i = 1; i <= n; i++) 

  for (j = 1; j <= m; j++) 

   if (a[i][j] == 0) { 

    count = 0; 

    colour(i, j); 

    if (ans < count) 

     ans = count; 

   } 

 printf("%d\n", ans); 

 return 0; 

} 

输入：

6 5 9

1 4

2 3

2 4

3 2

4 1

4 3

4 5

5 4

6 4

输出：_________

{{ input(26) }}

27. （序列重排）全局数组变量 a定义如下：

#define SIZE 100 

int a[SIZE], n;

它记录着一个长度为 nn 的序列 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 。 现在需要一个函数，以整数 $p(1 \leq p \leq n)$ 为参数，实现如下功能：将序列 a 的前 p 个数与后 n - p个数对调，且不改变这 p 个数（或 n - p 个数）之间的相对位置。例如， 长度为 5 的序列 1, 2, 3, 4, 5，当 p = 2 时重排结果为 3, 4, 5, 1, 2。

有一种朴素的算法可以实现这一需求，其时间复杂度为 O(n)、空间复杂度为 O(n)：

void swap1(int p) {

    int i, j, b[SIZE]; 

    for (i = 1; i <= p; i++)b[(1)] = a[i]; //（2 分） 

    for (i = p + 1; i <= n; i++)

        b[i - p] = a[i]; 

    for (i = 1; i <= n; i++)

        a[i] = b[i]; 

}

我们也可以用时间换空间，使用时间复杂度为 $O(n^2)$、空间复杂度为 O(1)的算法：

void swap2(int p) {

    int i, j, temp; 

    for (i = p + 1; i <= n; i++) {

        temp = a[i]; 

        for (j = i; j >= (2); j--)//（2 分） 

            a[j] = a[j - 1]; (3) = temp; //（2 分） 

    }

}

事实上，还有一种更好的算法，时间复杂度为 O(n)、空间复杂度为 O(1)：

void swap3(int p) {

    int start1, end1, start2, end2, i, j, temp; 

    start1 = 1; 

    end1 = p; 

    start2 = p + 1; 

    end2 = n; 

    while (true) {

        i = start1; 

        j = start2; 

        while ((i <= end1) && (j <= end2)) {

            temp = a[i]; 

            a[i] = a[j]; 

            a[j] = temp; 

            i++; 

            j++; 

        }

        if (i <= end1)

            start1 = i; 

        else if ((4)) {//（3 分）    

            start1 = (5); //（3 分）    

            end1 = (6); //（3 分） 

            start2 = j; 

        }

        else 

        break; 

    }

}

1.{{ input(27) }}

2.{{ input(28) }}

3.{{ input(29) }}

4.{{ input(30) }}

5.{{ input(31) }}

6.{{ input(32) }}

28. （两元序列）试求一个整数序列中，最长的仅包含两个不同整数的连续子序列。如有多 个子序列并列最长，输出任意一个即可。例如，序列$\texttt{1 1 2 3 2 3 2 3 3 1 1 1 3 1}$ 中， 有两段满足条件的最长子序列，长度均为 7，分别用下划线和上划线标出。

#include <stdio.h> 

int main() 

{ 

 const int SIZE = 100; 

 int n, i, j, a[SIZE], cur1, cur2, count1, count2, 

  ans_length, ans_start, ans_end;  //cur1, cur2 分别表示当前子序列中的两个不同整数  //count1, count2 分别表示 cur1, cur2 在当前子序列中出现的次数 

 scanf("%d", &n); 

 for (i = 1; i <= n; i++) 

  scanf("%d", &a[i]); 

 i = 1; 

 j = 1;  //i, j 分别表示当前子序列的首尾，并保证其中至多有两个不同整数 

 while ((j <= n) && (a[j] == a[i])) 

  j++; 

 cur1 = a[i]; 

 cur2 = a[j];  count1 =     (1)    ; //（3 分） 

 count2 = 1; 

 ans_length = j - i + 1; 

 while (j < n) { 

  j++; 

  if (a[j] == cur1) 

   count1++; 

  else if (a[j] == cur2) 

   count2++; 

  else {    if (a[j - 1] ==     (2)    ) { //（3 分） 

    while (count2 > 0) { 

     if (a[i] == cur1) 

      count1--; 

     else 

      count2--; 

     i++; 

    } 

    cur2 = a[j]; 

    count2 = 1; 

   } 

   else { 

    while (count1 > 0) { 

     if (a[i] == cur1)           (3)    ; //（2 分） 

     else           (4)    ; //（2 分） 

     i++;  

    }         (5)    ;   //（3 分） 

    count1 = 1; 

   } 

  } 

  if (ans_length < j - i + 1) { 

   ans_length = j - i + 1; 

   ans_start = i; 

   ans_end = j; 

  } 

 } 

 for (i = ans_start; i <= ans_end; i++) 

  printf("%d ", a[i]); 

 return 0; 

}

1.{{ input(33) }}

2.{{ input(34) }}

3.{{ input(35) }}

4.{{ input(36) }}

5.{{ input(37) }}