$因为大部分没听懂，所以容我无法讲的太深$

一、容斥原理

1‌.基础公式‌

对于两个集合：$|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|$

对于三个集合：$|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|$

2.运用场景

1.多面手问题: 如11人中5人只会排版，4人只会印刷，2人两项都会，选4人排版和4人印刷的组合数需分类讨论

2.集合计数: 如调查100名学生中阅读《西游记》或《红楼梦》的人数关系

3.韦恩图辅助‌: 通过图形化工具分析重叠关系，例如班级中喜欢西瓜和樱桃的人数统计

二、概率与期望

1.期望计算

线性性质： $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

补种问题： 种子不发芽概率$0.1$，补种期望$=1000×0.1×2=200$

2.条件概率‌

$P(A|B) = P(A∩B)/P(B)$，如a校项目获奖条件下甲项目获胜的概率计算

‌3.概率树与决策

通过概率分支计算期望值，评估机会价值（如10%赚500元，70%赚100元的期望值160）

三、离散数学

1.集合运算‌

并集、交集、补集及德摩根定律，如两次进货的商品种类计算

2.容斥原理扩展‌

减法公式和有限集元素计数技巧

四、卡特兰数

$卡特兰数公式$

$$\begin{aligned} H(x)&=\frac{1- \sqrt{1-4x}}{2x}\\ &=\frac{1}{2x}\sum_{n\ge 1}\binom{2n-1}{n}\frac{1}{(2n-1)}2x^n\\ &=\sum_{n\ge 1}\binom{2n-1}{n}\frac{1}{(2n-1)}x^{n-1}\\ &=\sum_{n\ge 0}\binom{2n+1}{n+1}\frac{1}{(2n+1)}x^{n}\\ &=\sum_{n\ge 0}\binom{2n}{n}\frac{1}{n+1}x^{n}\\ \end{aligned} $$

1.定义与数列‌

前几项为$1, 1, 2, 5, 14...$，用于组合计数问题 ‌经典问题

2.经典问题

1.进出栈序列： n个元素的合法出栈顺序数为卡特兰数C(n) 2.找零问题 a人持5元纸币，b人持10元纸币的合法排队方案

历史背景

由清代数学家明安图首次发现，后由卡特兰命名

$以上内容综合了各知识点的核心公式、典型例题及实际应用场景$