前言

2026 年第一篇 blog。

本篇 blog 目标：CSP2023J2T3. [CSP-J 2023] 一元二次方程-T3。

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二次根式

概念

「

概况

如果你能算出 $1+1=2$，那么你就能算出 $3+3+3=9$；
如果你能算出 $3+3+3=9$，那么你就能算出 $3\times3=9$；
如果你能算出 $3\times3=9$，那么你就能算出 $3^2=9$；
如果你能算出 $3^2=9$，那么你就能算出 $\sqrt{9}=3$。
这就是二次根式。聪明如我

」

二次根式，就是形如 $\sqrt{a}=x(a\ge 0)$ 的形式。

运算

1. $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
2. $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$；
3. 适用 整式的乘法、因式分解 。
4. 不能直接进行加减，例如 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 已是最简。而 $\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
5. $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。

最简二次根式

要求：

1. 被开方数不含分母、小数，分母不含根数。例如 $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ 不是最简二次根式，需要化为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$（具体如下）$$\boxed{ \begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{3}} &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned} }$$
2. 被开方数不含能开的尽方的数。例如 $\sqrt{4}$ 要化成 $2$。同理，$\sqrt{4a}$ 要化成 $2\sqrt{a}$。也可以得到：$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$。

OK, 现在你已经学完二次根式的全部内容 ，可以去做 CSP2023J2T3. [CSP-J 2023] 一元二次方程-T3 了 。

目标题目

题目大意：给出一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项 $a,b,c$，根据求解公式 $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2ac}$，输出其中较大的解的式子。

观察求根公式，可以分为两部分：$\dfrac{-b}{2ac}$ 和 $\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2ac}$。第一部分可以约分（因为都是整数）。

「

如何约分？

这不就在小学就学过嘛

$\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$

分式的分子分母同时乘或除以一个不为 $0$ 的数，分式不变。

那么，$\dfrac{a}{b}$ 就可以化为：

$$\dfrac{a\div\gcd(a,b)}{b\div\gcd(a,b)}$$

那么，第一部分就解决了。

」

第二部分？

可以先从判别式的根号入手。首先看看 $\sqrt{x}$ 有多少种情况：

1. $x$ 为完全平方数：$\sqrt{x}$ 一定可以表示为一个整数 $a$，其中 $a^2=x$；
2. $x$ 的因子中有完全平方数：$\sqrt{x}$ 一定可以表示为 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中设 $d$ 为 $x$ 的因子中的完全平方数，则 $m^2=d,n=\dfrac{x}{d}$。例如 $\sqrt{8}$ 其中 $8$ 有因子 $4$ 为完全平方数，所以 $m=\sqrt{4}=2,n=\dfrac{8}{4}=2$。所以 $\sqrt{8}$ 可以表示为 $2\sqrt{2}$。
3. 其他情况：只能用 $\sqrt{x}$ 表示。

（实际上就是将二次根式化到最简）

这样，就可以进行约分了。

约分后，$x$ 应该化为一个 $\dfrac{p_1}{q_1}+\dfrac{p_2}{q_2}\sqrt{r}$ 的形式。

然后进行亿些化简，你就解决这道题目了。

$$\Huge\colorbox{ffff00}{\color{000000}\texttt{THE END}}$$